Meistarafyrirlestur í stærðfræði - Bergur Snorrason

Fyrirlesturinn verður á Zoom: https://eu01web.zoom.us/j/61656228257

Meistaranemi: Bergur Snorrason

Heiti verkefnis: Rudin-Carleson setningar

___________________________________________

Deild: Raunvísindadeild

Leiðbeinandi: Benedikt Steinar Magnússon, lektor við Raunvísindadeild

Einnig í meistaranefnd: Ragnar Sigurðsson, prófessor við Raunvísindadeild

Prófdómari: Tyson Ritter, dósent við Háskólann í Stavanger, Noregi

Ágrip

Aðalefni ritgerðarinnar er setning Rudin-Carleson. Hún gefur okkur nægjanlegt skilyrði á hlutmengi í einingarhringnum þannig að framlengja megi sérhvert samfallt fall á menginu í samfellt fall á lokuðu einingarhringskífunni sem er fágað á opnu einingarhringskífunni. Hún er sönnuð á tvo vegu. Fyrst í kafli 3.2, þar sem farið er sömu leið og Rudin gerði upprunalega, og aftur í kafla 3.3. Þar er sýnt að hún sé fylgisetning setningar Bishops og setningar F. og M. Riesz.

Kafli 3.1 er tileinkaður sönnun á setningu F. og M. Riesz, sem gefur okkur nægjanlegt skilyrði þess að mál sé alsamfellt með tilliti til Lebesgue-málsins á einingahringnum. Í kafla 3.3 setjum við fram og sönnum alhæfingu Bishops á setningu Rudin-Carleson. Við sýnum síðan að Rudin-Carleson setningin sé fylgisetning setningar Bishops og setningar F. og M. Riesz. Í kafla 4.1 er athugað hvernig setning Bishops getur hjálpað okkur að flokka lokuð hlutmengi jaðars einingarkúlu C^n.

Í kafla 4.2 skoðum hvernig slaka má á skilyrðum setningar Bishops. Mengið í setningu Bishops er skilyrt þannig að öll samfelld föll á því megi framlengja, það er að segja skilyrðin eru óháð fallinu sem við viljum framlengja. Niðurstaðan í kafla 4.2 er setning sem gefur nægjanleg skilyrði á mengi þannig að framlengja megi gefið samfellt fall á menginu.