Doktorsvörn í stærðfræði – Hjörtur Björnsson

Doktorsefni: Hjörtur Björnsson

Heiti ritgerðar: Lyapunov föll og slembin kerfi: Fræði og tölulegar aðferðir (Lyapunov Functions for Stochastic Systems: Theory and Numerics)

Leiðbeinandi: Dr. Sigurður Freyr Hafstein, prófessor við Raunvísindadeild HÍ

Einnig í doktorsnefnd: 
Dr. Sigurður Örn Stefánsson, prófessor við Raunvísindadeild HÍ
Dr. Peter Giesl, prófessor við Háskólann í Sussex, Bretlandi

Andmælendur: 
Dr. Gerardo Barrera Vargas, prófessor við Háskólann í Helsinki, Finnlandi
Dr. Florian Rupp, prófessor við Alþjóðlega Háskólann í Kutaisi, Georgíu

Doktorsvörn stýrir: Dr. Einar Örn Sveinbjörnsson, prófessor og deildarforseti Raunvísindadeildar HÍ

Ágrip

Í þessari ritgerð munum við skoða Lyapunov föll fyrir slembnar diffurjöfnur. Lyapunov föll eru mjög gagnleg þegar við könnum stöðugleika jafnvægispunkta slembna kerfa, og langtíma hegðun sérlausna í kringum þá. Við fjöllum um aðferð, til að reikna svokallað aðdráttarsvæði og nákvæmar neðri skorður, sem felst í því að nota saman staðbundið Lyapunov fall og óstaðbundið Lyapunov fall. Fyrst fjöllum við um Lyapunov föll, fyrir næstum örugglega veldisaðfellustöðug kerfi, og alhæfum þau fyrir stærra og gagnlegra fallarúm. Í öðru lagi þá fjöllum við um aðferð til að reikna staðbundin Lyapunov föll með því að línugera slembna kerfið. Í þriðja lagi, þá reiknum við óstaðbundið Lyapunov fall með tölulegri aðferð sem kallast möskvalaus samleguaðferð. Með þessari aðferð getum við reiknað út raunverulegt Lyapunov fall tölulega í stað þess reikna út tölulega nálgun. Við fjöllum um reiknierfiðleika sem við tókumst á við, og hvernig í framhaldinu við skoðuðum Wendland föll og mismunandi aðferðir til að reikna þau tölulega. Niðurstaðan var aðferð sem býr til Wendland föll í hagkvæmri mynd og hugbúnaður sem nýtir þau til að leysa hlutafleiðujöfnur með mösvkalausri samleguaðferð.

Um doktorsefnið

Hjörtur Björnsson hóf nám við Háskóla Íslands árið 2009 og hefur lokið bæði B.Sc- og M.Sc-prófi í stærðfræði frá HÍ. Einnig var hann í skiptinámi við Háskólann í Gautaborg í eitt ár.
Hjörtur hefur starfað sem stundarkennari við Háskólann í Reykjavík og Háskóla Íslands samhliða námi, og starfar nú við áhættustýringu hjá Landsbankanum.