Málstofa í stærðfræði (STÆ001M)

Ýmsir fyrirlesarar ræða efni tengd nýjum rannsóknum í stærðfræði. Viðfangsefni auglýst jafnóðum.

Lokaverkefni (STÆ441L)

Línuleg fellagreining (STÆ507M)

Kennt þegar ártal er oddatala.

Banach-rúm og Hilbert-rúm og helstu eiginleikar þeirra. Tvírúm Banach-rúma.
Meginkenningar í virkigreiningu: Setning Hahn–Banach, meginsetningin um jafna takmarkaðleika (Banach–Steinhaus), opin vörpun og lokaða grafs setningar.

Veikar topólógíur. Setning Banach–Alaoglu. Lemma Riesz. Hornréttni í Banach-rúmum.

Virkjar og samsvarandi tvíliðan þeirra. Þjappaðir virkjar. Vigrarúmsróf og lausnarafl. Setning Lax–Milgram. Rófssetning fyrir þjappaða, sjálfsamda virkja.

Sobolev-rúm. Sobolev-rúm á rauntalnalínunni og inndælingar. Nálgun og þétt undirrúm. Ójafna Poincaré. Sobolev-rúm í hærri vídd. Útvíkkunarsetning. Inndælingarsetningar Sobolev-rúma. Setning Rellich–Kondrachov. Ójafna Poincaré í hærri vídd. Ójafna Poincaré–Wirtinger.

Notkun í hlutmismunajöfnum.

Lokaverkefni: verkefnastjórnun, ritfærni og kynning (VON001F)

Námskeiðið fjallar um inngang að vísindalegum aðferðum, siðfræði vísinda í háskólasamfélaginu. Einnig verður farið í hlutverk nemanda, leiðbeinanda og prófdómara. Tekin verða fyrir árangursrík og heiðarleg samskipti sem og gerð fræðilegrar umfjöllunar með notkun gagnasafna og réttri heimildanotkun. Gerð rannsóknaráætlunar og rannsóknaaðferðir verða kynntar og einnig hagnýt framsetning tölulegra gagna. Farið verður í verklag við gerð fræðiritgerða, hvernig skipta á stóru verkefni niður í smærri einingar, gerð áætlunar og tímalínu og hvernig á að fylgja þeim. Lífið eftir brautskráningu og vinnumarkaðurinn.

Málstofa í stærðfræði (STÆ002M)

Ýmsir fyrirlesarar ræða efni tengd nýjum rannsóknum í stærðfræði. Viðfangsefni auglýst jafnóðum.

Lokaverkefni (STÆ441L)

Slembiferli (STÆ415M)

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.

Grundvöllur líkindafræðinnar (STÆ418M)

Líkindi á grundvelli mál- og tegurfræði.

Viðfangsefni: Líkindi, útvíkkunarsetningar, óhæði, væntigildi. Borel-Cantelli-setningin og 0-1 lögmál Kolmogorovs.  Ójöfnur og hin veiku og sterku lögmál mikils fjölda. Samleitni í hverjum punkti, í líkindum, með líkunum einn, í dreifingu og í heildarviki. Tengiaðferðir. Höfuðmarkgildissetningin. Skilyrt líkindi og væntigildi.

Slembiferli (STÆ415M)

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.

Hlutafleiðujöfnur (STÆ505M)

Markmið námskeiðsins er að veita rökréttan inngang og grunn fyrir frekara nám í hlutafleiðujöfnum. Efnisatriðin: Fyrstu stigs hlutafleiðujöfnur; Cauchy-Kowalevski setningin; undirstöðutækni í stærðfræðigreiningu (Lebesgue-heildi, földun, Fourier-ummyndun); dreififöll; undirstöðulausnir; Laplace-virkinn; hitavirkinn.  Námskeiðið er fyrst og fremst ætlað nemendum í framhaldsnámi sem hafa góðan grunn í stærðfræðigreiningu.

Dreififöll (STÆ523M)

Fjallað er um undirstöðuatriði um dreififöll og hagnýtinga um hlutafleiðujöfnur.

Viðfangsefni: Prófunarföll, dreififöll, deildun dreififalla, samleitni runa af dreififöllum, Taylor-liðun í mörgum breytistærðum, staðbinding, dreififöll með þjappaða stoð, margföldun falla og dreififalla, samskeyting varpana og dreififalla, földun dreififalla, grunnlausnir, Fourier-ummyndun, Fourier-raðir, grunnlausnir og Fourier-ummyndun.

Málstofa í stærðfræði (STÆ001M)

Ýmsir fyrirlesarar ræða efni tengd nýjum rannsóknum í stærðfræði. Viðfangsefni auglýst jafnóðum.

Lokaverkefni (STÆ441L)

Línuleg fellagreining (STÆ507M)

Kennt þegar ártal er oddatala.

Banach-rúm og Hilbert-rúm og helstu eiginleikar þeirra. Tvírúm Banach-rúma.
Meginkenningar í virkigreiningu: Setning Hahn–Banach, meginsetningin um jafna takmarkaðleika (Banach–Steinhaus), opin vörpun og lokaða grafs setningar.

Veikar topólógíur. Setning Banach–Alaoglu. Lemma Riesz. Hornréttni í Banach-rúmum.

Virkjar og samsvarandi tvíliðan þeirra. Þjappaðir virkjar. Vigrarúmsróf og lausnarafl. Setning Lax–Milgram. Rófssetning fyrir þjappaða, sjálfsamda virkja.

Sobolev-rúm. Sobolev-rúm á rauntalnalínunni og inndælingar. Nálgun og þétt undirrúm. Ójafna Poincaré. Sobolev-rúm í hærri vídd. Útvíkkunarsetning. Inndælingarsetningar Sobolev-rúma. Setning Rellich–Kondrachov. Ójafna Poincaré í hærri vídd. Ójafna Poincaré–Wirtinger.

Notkun í hlutmismunajöfnum.

Töluleg línuleg algebra (STÆ511M)

Ítrekunaraðferðir fyrir jöfnuhneppi.  Ýmsar þáttanir fylkja eins og QR, Cholesky, Jordan, Schur, rófþáttun og sérstöðupunktaþáttun (SVD) og hagnýtingar þeirra.  Strjál Fourierummyndun (DFT) og hröð algrím til framkvæmdar hennar (FFT).  Strjál Kósínusummyndun (DCT) í tvívídd og hagnýtingar í þjöppun hljóðs (MP3, AAC) og mynda (JPEG).  Rýr fylki og framsetning á þeim.

Sérstök áhersla verður lögð á hagnýtingu þeirra efnisatriða sem farið er í og tölulegar aðferðir.

Tölulegar lausnir á hlutafleiðujöfnum (STÆ537M)

Markmið námskeiðsins er að kynna aðferðir til tölulegrar úrlausnar á hlutafleiðujöfnum og forritun þeirra. 

Viðfangsefni:

Fleyggerar hlutafleiðujöfnur (varmajafnan), breiðgerar hlutafleiðujöfnur (bylgjujafnan) og sporgerar hlutafleiðujöfnur (Poisson- og Laplace jafnan).  Mismunaaðferðir, samleguaðferðir og bútaaðferðir.  Stöðugleiki lausnaraðferða, CFL skilyrðið og Crank-Nicolson skemað. Ólínulegar hlutafleiðujöfnur og Turing-mynstur.  Samband slembigangs og Poisson/Laplace hlutafleiðujafna.

Lokaverkefni: verkefnastjórnun, ritfærni og kynning (VON001F)

Námskeiðið fjallar um inngang að vísindalegum aðferðum, siðfræði vísinda í háskólasamfélaginu. Einnig verður farið í hlutverk nemanda, leiðbeinanda og prófdómara. Tekin verða fyrir árangursrík og heiðarleg samskipti sem og gerð fræðilegrar umfjöllunar með notkun gagnasafna og réttri heimildanotkun. Gerð rannsóknaráætlunar og rannsóknaaðferðir verða kynntar og einnig hagnýt framsetning tölulegra gagna. Farið verður í verklag við gerð fræðiritgerða, hvernig skipta á stóru verkefni niður í smærri einingar, gerð áætlunar og tímalínu og hvernig á að fylgja þeim. Lífið eftir brautskráningu og vinnumarkaðurinn.

Málstofa í stærðfræði (STÆ002M)

Ýmsir fyrirlesarar ræða efni tengd nýjum rannsóknum í stærðfræði. Viðfangsefni auglýst jafnóðum.

Lokaverkefni (STÆ441L)

Stærðfræðileg eðlisfræði (EÐL612M)

Markmið: Að kynna stærðfræðilegar aðferðir sem nytsamar eru í eðlisfræði og veita þjálfun í beitingu þeirra. Námsefni: Hljóðbylgjur í vökvum og lofttegundum. Spennutensor og þenslutensor, almennar hreyfingarjöfnur fyrir samfellt efni. Jarðskjálftabylgjur. Jöfnur Maxwells og rafsegulbylgjur. Flatar bylgjur, skautun, endurkast og brot. Dreififöll og Fourier-greining. Grunnlausnir og Green-föll hlutafleiðujafna. Bylgjur í einsleitum efnum. Lögmál Huygens og setning Leifs Ásgeirssonar. Tvístur (dispersion. Fasahraði og grúpuhraði. Jöfnur Kramers og Kronigs. Aðferð hins stöðuga fasa. Bylgjur á yfirborði vökva.

Tvinnfallagreining II (STÆ606M)

Námskeiðið er framhald af Tvinnfallagreiningu I (STÆ301G) og tekur á ýmsum atriðum í tvinnfallagreiningu af einni breytistærð og tengingum hennar við aðrar greinar stærðfræðinnar.

Umfjöllunarefni: Nálganir fágaðra falla með margliðum og ræðum föllum, Runge-setningin. Óendanlegar raðir og óendanleg margfeldi nærfágaðra falla. Tilvistarsetningar Mittag-Lefflers og Weierstrass. Sporger föll. Gammafallið. Einfaldlega og margfaldlega samanhangandi svæði, og tengsl við grannfræði. Samrýndar fjölskyldur og setning Montels. Hornrækin vörpun, talnahvel Riemanns, brotnar línulegar færslur, Schwarz-hjálparsetningin, fágaðar sjálfmótanir og óevklíðsk rúmfræði í einingarhringskífunni. Vörpunarsetning Riemanns; samfelldni á jaðrinum. Speglunaraðferð Schwarz, mátfallið, Picard-setningin hin meiri. Fágaðar framlenging og bundnir Riemann-fletir fágaðra falla. Undirþýð og þýð föll, Dirichlet-verkefnið og lausnir þess með Perron-aðferðinni. Hilbert-rúm fágaðra falla og Bergman-kjarninn.

Slembiferli (STÆ415M)

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.

Málstofa í stærðfræði (STÆ001M)

Ýmsir fyrirlesarar ræða efni tengd nýjum rannsóknum í stærðfræði. Viðfangsefni auglýst jafnóðum.

Lokaverkefni (STÆ441L)

Línuleg fellagreining (STÆ507M)

Kennt þegar ártal er oddatala.

Banach-rúm og Hilbert-rúm og helstu eiginleikar þeirra. Tvírúm Banach-rúma.
Meginkenningar í virkigreiningu: Setning Hahn–Banach, meginsetningin um jafna takmarkaðleika (Banach–Steinhaus), opin vörpun og lokaða grafs setningar.

Veikar topólógíur. Setning Banach–Alaoglu. Lemma Riesz. Hornréttni í Banach-rúmum.

Virkjar og samsvarandi tvíliðan þeirra. Þjappaðir virkjar. Vigrarúmsróf og lausnarafl. Setning Lax–Milgram. Rófssetning fyrir þjappaða, sjálfsamda virkja.

Sobolev-rúm. Sobolev-rúm á rauntalnalínunni og inndælingar. Nálgun og þétt undirrúm. Ójafna Poincaré. Sobolev-rúm í hærri vídd. Útvíkkunarsetning. Inndælingarsetningar Sobolev-rúma. Setning Rellich–Kondrachov. Ójafna Poincaré í hærri vídd. Ójafna Poincaré–Wirtinger.

Notkun í hlutmismunajöfnum.

Hlutafleiðujöfnur (STÆ505M)

Markmið námskeiðsins er að veita rökréttan inngang og grunn fyrir frekara nám í hlutafleiðujöfnum. Efnisatriðin: Fyrstu stigs hlutafleiðujöfnur; Cauchy-Kowalevski setningin; undirstöðutækni í stærðfræðigreiningu (Lebesgue-heildi, földun, Fourier-ummyndun); dreififöll; undirstöðulausnir; Laplace-virkinn; hitavirkinn.  Námskeiðið er fyrst og fremst ætlað nemendum í framhaldsnámi sem hafa góðan grunn í stærðfræðigreiningu.

Tölulegar lausnir á hlutafleiðujöfnum (STÆ537M)

Markmið námskeiðsins er að kynna aðferðir til tölulegrar úrlausnar á hlutafleiðujöfnum og forritun þeirra. 

Viðfangsefni:

Fleyggerar hlutafleiðujöfnur (varmajafnan), breiðgerar hlutafleiðujöfnur (bylgjujafnan) og sporgerar hlutafleiðujöfnur (Poisson- og Laplace jafnan).  Mismunaaðferðir, samleguaðferðir og bútaaðferðir.  Stöðugleiki lausnaraðferða, CFL skilyrðið og Crank-Nicolson skemað. Ólínulegar hlutafleiðujöfnur og Turing-mynstur.  Samband slembigangs og Poisson/Laplace hlutafleiðujafna.

Tölulegar lausnir á hlutafleiðujöfnum (STÆ537M)

Markmið námskeiðsins er að kynna aðferðir til tölulegrar úrlausnar á hlutafleiðujöfnum og forritun þeirra. 

Viðfangsefni:

Fleyggerar hlutafleiðujöfnur (varmajafnan), breiðgerar hlutafleiðujöfnur (bylgjujafnan) og sporgerar hlutafleiðujöfnur (Poisson- og Laplace jafnan).  Mismunaaðferðir, samleguaðferðir og bútaaðferðir.  Stöðugleiki lausnaraðferða, CFL skilyrðið og Crank-Nicolson skemað. Ólínulegar hlutafleiðujöfnur og Turing-mynstur.  Samband slembigangs og Poisson/Laplace hlutafleiðujafna.

Lokaverkefni: verkefnastjórnun, ritfærni og kynning (VON001F)

Námskeiðið fjallar um inngang að vísindalegum aðferðum, siðfræði vísinda í háskólasamfélaginu. Einnig verður farið í hlutverk nemanda, leiðbeinanda og prófdómara. Tekin verða fyrir árangursrík og heiðarleg samskipti sem og gerð fræðilegrar umfjöllunar með notkun gagnasafna og réttri heimildanotkun. Gerð rannsóknaráætlunar og rannsóknaaðferðir verða kynntar og einnig hagnýt framsetning tölulegra gagna. Farið verður í verklag við gerð fræðiritgerða, hvernig skipta á stóru verkefni niður í smærri einingar, gerð áætlunar og tímalínu og hvernig á að fylgja þeim. Lífið eftir brautskráningu og vinnumarkaðurinn.

Almenna afstæðiskenningin (EÐL610M)

Markmið: Að kenna nemendum undirstöðuatriði í afstæðiskenningu Einsteins.

Námsefni: Takmarkaða afstæðiskenningin, fjórvigrar og þinir. Almenna afstæðiskenningin, sveigja tímarúmsins, jafngildislögmálið, jöfnur Einsteins, samanburður við mælingar innan sólkerfisins, þyngdarbylgjur, svarthol, heimsfræði.

Kennarar: Benjamin Knorr og Ziqi Yan, postdocs við Nordita.

Málstofa í stærðfræði (STÆ002M)

Ýmsir fyrirlesarar ræða efni tengd nýjum rannsóknum í stærðfræði. Viðfangsefni auglýst jafnóðum.

Lokaverkefni (STÆ441L)

Stærðfræðileg eðlisfræði (EÐL612M)

Markmið: Að kynna stærðfræðilegar aðferðir sem nytsamar eru í eðlisfræði og veita þjálfun í beitingu þeirra. Námsefni: Hljóðbylgjur í vökvum og lofttegundum. Spennutensor og þenslutensor, almennar hreyfingarjöfnur fyrir samfellt efni. Jarðskjálftabylgjur. Jöfnur Maxwells og rafsegulbylgjur. Flatar bylgjur, skautun, endurkast og brot. Dreififöll og Fourier-greining. Grunnlausnir og Green-föll hlutafleiðujafna. Bylgjur í einsleitum efnum. Lögmál Huygens og setning Leifs Ásgeirssonar. Tvístur (dispersion. Fasahraði og grúpuhraði. Jöfnur Kramers og Kronigs. Aðferð hins stöðuga fasa. Bylgjur á yfirborði vökva.

Slembiferli (STÆ415M)

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.